100兆の階乗の右から数えて25兆番目にある数字は偶数であるか奇数であるか

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はてダを見てると、プログラミングのアウトプット記事がとても多い

そんなノリで昔考えてた算数を出そうかなと

(1)30!の一の位は0である。ここから始めて十の位百の位と順に左に見ていく。最初に0でない数字が現れるまでに連続していくつの0が並ぶか。（中学生レベル？）
(2)(1)において最初に現れる0でない数字を求めよ。（最難関中学レベル〜国公立大学レベル）
(3)ここで「n!は10^kの倍数である」これをみたす自然数kのうち最大のものをpとしてf(n)=10^pとする。このとき以下の数の一の位の数字を求めよ。
(イ)100!÷f(100)
(ロ)100000!÷f(100000)
(4)100兆の階乗を10進法で表示したとき右から数えて25兆番目にある数字は偶数であるか奇数であるか調べよ。

問題を読んでほしいためこのようにしてみた

・k!に(k+1)をかけた時の変化を考える。
・nを素因数分解すると2の個数＞5の個数なのでn!÷f(n)は偶数

・2の累乗の一の位の変化は、2→4→8→6→2→…

1をかけると０つ進む
2をかけると１つ進む
3をかけると３つ進む
4をかけると２つ進む
5をかけて10で割ると３つ進む

6をかけると０つ進む
7をかけると１つ進む
8をかけると３つ進む
9をかけると２つ進む
10をかけて10で割ると０つ進む

使われているのは10進法であるから２と５がポイント
一の位を注目することは(10a+b)とすれば明らか

さて、５つを塊にして考える。以下の合同式の法は10とする。

5!÷10≡2×1
10!÷5!÷10≡2×2
15!÷10!÷10≡2×3
20!÷15!÷10≡2×4
2×(25!÷20!÷100)≡2×(2×5÷10)
※左辺は６、右辺は１になるので補正。
（2×の環境において、6と1はともに2にいくので同じ）

30!÷25!÷10≡2×6
・
・
・

塊をくっつけるとこうなる。

30!÷10^7≡2^6×6!÷10（≡2^7×6≡8）

つまり、30が6へ、と次数下げもどきができたわけ。

以上が理解できれば。

100兆(10進法)=101101400兆(5進法)
100兆!÷10^(25兆-2)≡2^(25兆-2)×4!1!1!1!1!≡6
…□6が4の倍数なので□は奇数です

当時の問題製作者（ぼくだけど）の裏話。

100に対して25なのは等比1/5の無限等比級数の和が1/4から簡単な話なのですが、
まず、25兆-2の「-2」のケースを探す必要があり、そして答えが奇数になるケースを探した結果、
(10^n)!ケースでは100兆が最小で、それを問題にしました。

ぼくはいわゆる携帯世代でございまして、数式を携帯でたびたび書いてたり。

大変書きにくい話なのですが、本人には中学受験以降は数学の勉強も基本的に放棄を貫いた過去がありまして…

関連ネタめも

10と言えば…
普通の電卓を使用して2の常用対数の小数第10位の値を求めよ。…これは教育に実に良い問題ではないかとか思っている。
//黒歴史でよければ貼る。自分にはモバゲーは受験SNSでしかなかったけど、Yahooモバゲーでぷんすか
//http://yahoo-mbga.jp/490626/diary/297254772

「…」と言えば…
0Ｃ0−2Ｃ1＋4Ｃ2−6Ｃ3＋…が√５分の１ではないかという中二
//(a+b)^nに対してaに１、bに４、nに-1/2入れただけですがね。

階乗と言えば。
実は４！って４以下の全ての整数の積から０以下の全ての整数の積を「取り除いたもの」とかも考えたこともありまして。
具体的には→http://livedoor.blogimg.jp/yudai214/imgs/f/d/fd55b1d5.JPG

コンビネーションは好きでして。
http://livedoor.blogimg.jp/yudai214/imgs/4/b/4b253bf3.JPG
の結果から
極限値lim(m→∞)[2mＣm/4^m−(mπ)^(-1/2)＋(1/8)(mmmπ)^(-1/2)](mmmmmπ)^(1/2)を求めよ。とか

(nＣ13＋n+12Ｃ13)＋８１７８(n+1Ｃ13＋n+11Ｃ13)＋１４７９７２６(n+2Ｃ13＋n+10Ｃ13)＋４５５３３４５０(n+3Ｃ13＋n+9Ｃ13)＋４２３２８１５３５(n+4Ｃ13＋n+8Ｃ13)＋１５０５６２１５０８(n+5Ｃ13＋n+7Ｃ13)＋２２７５１７２００４(n+6Ｃ13)＝n^13 である。とか

また、http://livedoor.blogimg.jp/yudai214/imgs/1/0/10c643c0.jpg
から、AA＞Bと同値はA＞√BまたはA＜-√BまたはB＜0(A実数)または-√(-B)＜Ai＜√(-B)である。ではAA＜Bは?
とか

これ考えてた時は、受験の神様ってドラマとかやってた気がする。

あいにく本日未熟者